Os elementos de Euclides

1. Euclides

 

A razão pela qual a abordagem axiomática de Euclides tornou-se um modelo para muitas disciplinas não é de fato para o desenvolvimento da economia, mas principalmente para o conjunto de axiomas e  precisamente na convinção de que eles são:

a) verdadeiros,

b) simples

c) evidentes e acima de tudo - implícitos

d) referem-se a uma realidade conhecida e clara: nós sabemos - tu sabes - o que se falou.

A forma da exposição contém em si uma garantia da sua verdade, e uma descrição fiel do seu objeto. A dedução lógica assegura a disponibilidade de conhecimentos gerais por cada membro da raça humana.

Os quatro primeiros axiomas dos Elementos de Euclides  afirmam

1) que de um ponto pode traçar uma linha reta que chegue a outro ponto
2) que uma linha pode ser estendida de forma contínua,
3) podemos descrever um círculo que tenha centro e raio dados
4) que  todos os ângulos retos são iguais.

"Axioma" em grego significa "que tem valor", e portanto ele tem e dá peso ou autoridade. No entanto, a  palavra não é usada por Euclides e sua terminologia é diferente: Os Elementos de Euclides contemplam as questões das definições,  postulados e noções comuns, então além de teoremas e problemas. As noções comuns (como "tudo está maior do que a parte ", ou" se os mesmos são subtraídos iguais, os resultados são iguais ") substituem  mais ou menos as nossas normas e regras lógicas de igualdade, os postulados são os nossos axiomas. O verbo para exprimir "Postulado" é αἰτέω, τίθημι é usado para "tomar" no sentido da definição.

Os gregos tinham uma refinada metodologia  da ciência, a exposição foi feita a por  Aristóteles. Referências para a geometria de Aristóteles são frequentes, por isso é fácil ler os Elementos  através dos olhos de Aristóteles, mas provavelmente seria enganoso, porque no texto, Euclides, não propõe qualquer consideração de metodologia.

Aristóteles chamou axiomas  os princípios ou noções comuns, que são verdades auto-evidentes. O gênero, ou objecto de uma ciência é  algo que deve ser explicado a partir das definições.

A considerações de Aristóteles sobre os princípios da ciência nem sempre são únivocos, numa versão, os axiomas são princípios comuns a todas as ciências, enquanto os postulatos são típicos de uma disciplina específica, noutras passagens, os postulados são tratados de forma diferente que os distingue mesmo das hipóteses, seriam aquilo que se assume, sem pronunciar-se sobre a sua verdade, ou mesmo rejeitándo-a.
Hipóteses e postulados, nesta outra perspectiva, dizem respeito a factos que quem os afirma não os comprova, embora sejam usados como prova. No contexto dialógico do ensino a ipoteses é aquela que se assume mesmo sem saber se é verdade, mas com o consentimento do aluno, o postulado é uma suposição de que ao contrário da ipoteses,  não tem, necessariamente, a aprovação do interlocutor, e pode mesmo ser reputado  falso (como poderíamos pensar  numa demonstração ad absurdum).

Parecem sobrepor-se nessas classificações diferentes, as duas tradições, a da ciência  e aquela da dialética.
Posteriormente houve reflexões, como a de Proclo sete séculos mais tarde, cujos ecos corrigem  as indicações de Aristóteles.
Depois de reiterar que os princípios são demasiado evidentes, Proclo distingue: os axiomas (conceitos comuns de Euclides ) que são os princípios, evidentes, que quem escuta entende, acredita e aceita, as hipóteses são as premissas que quem houve não conhece mas aceita, e os postulados são usados ​​mesmo sem o consentimento do ouvinte.
No conjunto dos axiomas são enunciadas verdades evidentes para todos, nos postulados se define que certas  coisas são fáceis de fazer e podem ser feitas sem complicações ou truques especiais.
 Se, por falta de documentação não podemos dizer muito sobre a concepção dos geometras gregos, a sabedoria que é predominante nos últimos séculos tem sido sempre, para a geometria euclidiana, uma descrição perfeita e precisa do espaço, como a línguagem usada por Deus ou como a do intelecto, curiosa manifestação incomum da ὕβρις humana, que, desde Platão até o fim da geometria era o conhecimento do eterno, e não do transitório. A última teória foi de Kant um racionalista, para o qual a geometria euclidiana era uma categoria a priori do nosso conhecimento do espaço.

2. Archimede

A obra de Arquimedes, no século III aC, pouco depois de Euclides, é particularmente significativa deste ponto de vista fundamental. Em Arquimedes é clara a vontade de axiomatizar os argumentos matemáticos sobre o modelo da geometria com argumentos numéricos.
As suas demonstrações das medidas geométricas da área e do volume usam o método da exaustão, o método da exaustão foi um método de aproximação que tornou-se necessario como uma coroação demonstrativa da convergência, e este por sua vez era geralmente uma manifestação por absurdo, supondo uma diferença entre o resultado do processo e o objectivo, e mostrando assim que alguma aproximação era mais esacta. O método foi perfeitamente correcto, como mais tarde foi reconhecido, num contexto em que foram aceites axiomas adequados, em particular o axioma de que agora tem o nome de Arquimedes.

Arquimedes para apresentar e discutir as suas descobertas com os colegas Alexandrinos defendeu a causa da aceitação do princípio, considerando que tem credibilidade suficiente (πίστις) sendo utilizado para os resultados já conhecidos e que ganharam a πίστις da comunidade .
 A obra de Arquimedes também mostra como a formação dos princípios é dependente do desempenho das demonstrações, se e quando elas recebem a aprovação da comunidade, a πίστις era uma característica que Platão ligava apenas à δόξα, enquanto Aristóteles acreditava ser aplicável seja à δόξα como também à έπιστήμη .

4. As teorias sem axiomas

Pode-se argumentar que existe um método a busca de provas, que se diferencia em relação ao método da exaustão ou  d'outra técnica.
Euler e outros matemáticos estavam tentando dar uma "idéia clara", a definição que expressa a genus aristotélica, não percebendo que era inútil. Eles não podiam, porque pensaram que os axiomas  tivessem que seguir a partir das definições, e que portanto não deveriam ser usados como ponto de partida mas ser considerados como logicas consequencias das definições certas.
 
 5. Axiomas obscuros

A partir da Revolução Francesa o cálculo infinitesimal estabeleceu um conjunto de novos conhecimentos que deveriam ser organizados de forma incremental, por termos simples e fáceis e assim comprovar os teoremas mais difíceis e importantes (Cauchy, Rolle, Lagrange, valor médio, o teorema fundamental). O problema com o cálculo é que os conceitos primitivos eram obscuros e  fonte de contradições. 

Apesar das declarações tranquilizadoras  de Leibniz, as bases para as operações logicas eram consideradas pelo Bispo Berkeley quantidades variáveis ​​que tornaram-se evanescentes, fantasmas de defuntos. O prelado  foi indignado pelo raciocínio de Leibniz, Berkeley é o emblema do pensador cuja reputação levou todo mundo a reconhecer que «deveis conhecer mais distintamente, considerais mais profundamente, deduzis mais correctamente e concluis com mais precisão que outros homens, e assim, portanto, vós sereis mais sábios»

  6. Lógica formal

A filosofia afirma que o ser criado é de natureza multidimensional e dialética. Isso quer dizer que ele é composto, porque a multidimensionalidade requer a multiplicidade e a diversidade. E, além disso, quer dizer que os princípios ontológicos que o compõem são em oposição. A dialética é, na verdade gerada pela interação de pelo menos dois "pólos" que exercitam dinâmicas contrarias, ou seja, "puxam" um dum lado e um doutro, em tensão ou direções opostas. O pensamento clássico tem identificado alguns destes binomios ontológicos essência-existência, ato e potência, forma-matéria, substância-acidente.

É por isso que sobre todas as realidades finitas podemos dar opiniões diferentes,  (mas não contraditórias) e todas elas verdadeiras, pois agora é possível destacar um ou outro aspecto. É só dizer, por exemplo, essa mesa é (retangular, linda ...) mas também que não é (não é uma casa ou um carro, e assim por diante). A água está a aquecer, podemos dizer que esta mudando (de fria se torna quente), mas que permanece imutável (água quente ou fria é sempre água). Esta é a dialética do finito.

O princípio da não-contradição, como já dissemos, é o limite intransponível, para além do qual a realidade se auto-anula.

Contradizê-lo é cair no não-sentido. E 'correto dizer que o meu braço estava cansado ontem e hoje é saudável, ou que é ferido aqui, e não aì, mas que não está no mesmo lugar e ao mesmo tempo saudável ​​e doente. Em outras palavras, é legítima a dialética dos opostos, mas não a contradição.

Face ao existente multidimensional e dialético encontra-se o homem, ser criatural, mas chamado a conhecer e construir o cosmo. Como um espírito encarnado, portanto, sujeito a espaço e tempo, ele olha para a realidade em "perspectiva", isto é, a partir do aqui e do agora. Então, sempre considera as coisas em relação às circumstancias e ao momento e local para onde observa. Nisto reside a razão do fato de que o homem nunca pode conhecer na totalidade aquilo que o rodeia, mesmo a mais simples das coisas. Mas sempre o conhece por aspectos  e dimensoões, sem ser capaz de abraçar tudo ao mesmo tempo e com um unico olhar. Portanto passo a passo, no tempo e numa modalidade discursiva. A conclusão a tirar é de suma importância, ninguém pode ser considerado depositário exclusivo e absoluto da verdade, porque nós sabemos só algo, nunca o tudo. Então nenhuma afirmaçáo humana é exaustiva, mas ha de acrescentar sempre outros aspectos, até opostos, igualmente verdadeiros, que são suplemento da realidade. Em outras palavras, todos os julgamentos humanos admitem um "sim, mas..". O homem é espírito, mas  também feito de corpo tem vida eterna, mas esta sujeito ao espaço e tempo, para trabalhar,  e descansar.

  7. Descartes

Agora, esta prova e a certeza da intuição não são necessárias apenas para as demonstrações simples, mas também para todo o tipo de raciocínio. Assim, por exemplo, sendo dado: 2 mais 2 o resultado é o mesmo de 3 mais 1, não somente temos que ver por intuição que 2 e 2 são 4 e 3 mais 1 são igualmente 4, mas ainda que a terceira proporção necessariamente conclui-se nas duas primeiras.
Por intuição não me refiro ao testemunho que muda dos sentidos ... mas à concepção de um espírito puro e atento um conceito assim feito é tão simples e tão distinto que não há nenhuma dúvida sobre o que entendemos ...

Assim, poderemos perguntar por que além da intuição, nós adicionamos aqui  uma outra forma de conhecimento que é, a dedução, uma operaçao pela qual  pretendemos concluir tudo aquilo que percebemos necessariamente de outras coisas conhecidas com certeza. Mas era tão necessário, porque as diferentes coisas são conhecidas com certeza, mesmo que elas não sejam auto evidentes, desde que sejam deduzidas a partir de princípios verdadeiros e conhecidos com um movimento contínuo e ininterrupto do pensamento que tem uma intuição clara de cada coisa.
Descartes exige à demonstração a intuição seja dos princípios como  da  consequêncialidade, que consiste numa evidência de ordem superior: a evidência de que uma evidência transfere-se para outra evidência. A demonstração não é a dedução lógica. 
Apenas para demonstrações compridas se fala de dedução, o que não é lógica, mas a evidência que desaparecendo, foi substituída pela memória que salienta de ter percorrido um caminho de evidências. Assim salva-se pelo menos a certeza, na falta de evidências. A lógica que Descartes trata  lamentando do vazio  é aquela codificada pela Escolastica, e ensinada nas escolas. 

  8. Os silogismos


Na idade moderna, os matemáticos e filosofos pensaram sempre numa lógica natural que melhora com o exercício, mas não exige uma codificação e um ensino específico. Se a lógica é identificada com a teoria dos silogismos, não lhe se pode culpar a total falta de um papel de relevo no raciocínio matemático. Mesmo se considerarmos o raciocínio proposicional, não há muita utilidade na teoria lógica, com exceção de algumas tautologias que estão na base das formas usuais de inferência:
1) modus ponens,
2) a reductio ad absurdum,
3) a contraposição,
4) a distinção dos casos.
Para ilustrar o que constitui a lógica formal, é preciso entrar em detalhes de uma espécie de lição sobre os conceitos introdutórios, pois é materia completamente desconhecida para a maioria. O que é estranho, porque vós podeis ver que no despertar da consciência europeia moderna a lógica como uma herança da Escolástica foi desprezada e ignorada, mas hoje já não podemos pensar que é apenas uma questão de jesuítas e dominicanos, considerando sobretudo aquilo que  tem acontecido nos últimos 150 anos.
Nada é melhor do que um exemplo. Desde o silogismo

Silogismos para principiantes...

• I Defìnição:

É um conjunto de pensamentos dedutivos, que contém duas premissas (a maior e menor) sentenças que inferem uma conclusão.

Aristóteles é conhecido como o inventor do silogismo no tratado de lógica do Organon. Ele era um discípulo de Platão criador do Liceu.

Classificação das sentenças a Premissa

• A = afirmação universal / inclui todos os elementos.

Todas as plantas morrem.

• E = negativa universal / rejeitar todos os itens.

Nenhuma Planta é humana.

• I = afirmativa particular  / inclui alguns elementos.

Algumas árvores dão fruto.

• O = negativa particular / não incluem alguns elementos.

Algumas plantas não dão flores
 

 

Silogismos...

Existem 264 possíveis variações ou silogismos, mas conclui-se que

apenas 24 / 19 ou 15 combinações são aceites. Outras combinações são consideradas faláciosas ou silogismos falsos. Duas características básicas do silogismos são:

* Verdade = o que é afirmado ou pregado é verdadeiro,  
* Validade = silogismos que provavelmente correspondem às quatro figuras ou modelos com exactidão, sem alterações. 

Nomes dos Silogismos

1.AAA= Barbara

2.AEE= Camestres

3. AII= Darii, Datisi

4.AOO=Baroco

5. EAE=Cesare

6.EE =NO/ duas premissas negativas

7.EIO=Ferio, Festino, Ferison, Fresiso

8. EO=NO/ duas premissas negativas